ФИЗ-МАТ САЙТ

ГОСТЕВАЯ КНИГА НА ГЛАВНУЮ ЧАТ ОПРОСЫ

ЗАДАЧИ ПО ЗАКОНАМ СОХРАНЕНИЯ

1.Кинематика;

· Движение по окружности;

· Относительность движения;

· Обобщающие задачи по кинематики

2.Динамики:

· Законы Ньютона;

· Силы в механике;

· Неинерциальные системы отсчета;

· Обобщающие задачи по динамики;

3.Импульс, работа и энергия:

· Закон сохранения импульса;

· Работа и мощность силы;

· Кинетическая и потенциальная энергия тела.

· Закон сохранения энергии;

· Обобщающие задачи по законам сохранения;

4.Статика

· Виды движения абсолютно твёрдого тела

· Статика;

· Гидростатика;

· Механика деформируемых тел

· Обобщающие задачи по статике.

№1. Через гвоздь перекинули тонкую длинную цепочку с маленькими неупругими звеньями так, что часть цепочки лежит на краю стола высотой

H, а часть – на полу. С какой установившейся скоростью будет двигаться цепочка, когда ее отпустят ?

Решение:

Решим задачу с помощью закона сохранения энергии:

Mgh = Mv²/2

И отсюда находят ответ v= √2gh.

Как же они удивляются, когда узнают, что получили неверный ответ, почему это решение неверно будет объяснено ниже, когда мы коснемся закона сохранения энергии.

Второй способ решения сначала отнюдь неочевиден, но этот способ решения является универсальным и используется во многих задачах. Идея этого способа заключается в введении линейной плотности цепочки r=M/L, где M- масса цепочки, а L- её длина.

Пусть u- скорость цепочки, тогда за малое время Δt в движение вовлекается масса Δm=ruΔt (2), скорость которой изменяется от нуля до u, а импульс от 0 до Δp=Δmu=r*u^2Δt. Этот импульс сообщает массе Δm сила тяжести rgh, действующая на неуравновешенную часть цепочки. Исходя из 2 закона Ньютона:

F=Δp/Δt

F=Δ(mu)/Δt=Δmu/Δt + mΔu/Δt

Δu=0 => rgh=Δmu/Δt, подставляя значение для массы (2) имеем:

ru^2=rgh

u=√gh

№2.Внутри U – образной трубки массой M, находящейся на гладком столе, движется нерастяжимая нить массой m. В начальный момент времени в каждом колене трубки находилось по половине нити, а сама трубка двигалась. При этом скорость конца А нити была равна v0, а скорость конца В – 0. С какой скоростью будет двигаться трубка, когда нить вылетит из нее. Движение трубки допускается только вдоль ее прямолинейных участков, радиус трубки считать очень малым, а трением пренебречь.

По условию задачи нить нерастяжима, а значит заданное в начале соотнтшение скоростей возможно лишь в при условии, что скорость трубки u0 относительно стола равна в этот момент равна v0/2 и направлена в ту же сторону, что и скорость конца нить А.

Перейдем в систему отсчета, связанную с трубкой, в которой начальная скорость трубки равна нулю. В этой системе половина нити с концом А имеет скорость v0/2, импульс (m/2)(v0/2) и кинетическую энергию 1/2(m/2)(v0/2)^2. А половина нити с концом В имеет скорость – v0/2 , импульс – (m/2)(v0/2) и кинетическую энергию 1/2(m/2)(v0/2)^2. Таким образом вначале полный импульс нити, а также импульс и кинетическая энергия и импульс трубки равны нулю. Энергия нити при этом равна mv0^2/8. Пусть после вылета из трубки нити ее скорость равна v, а скорость трубки u. Тогда законы сохранения запишутся следующим образом:

0 = Mu + mv, mv0^2/8 = mv^2 + Mu^2/2

После преобразований получаем, что

Знак минуса следует из закона сохранения импульса, из которого следует, что скорости u и v направлены в противоположные стороны.

Возвращаясь в систему отсчета, связанную со столом, находим искомую скорость трубки:

u1 = u + v0/2 = (v0/2)*[1 – m/√M(m+M)].

№ 3. Автомобиль начинает движение из начала координат с начальной скоростью равной нулю и приобретает скорость v, в неподвижной системе отсчета изменение энергии автомобиля равно: mv^2/2. Если мы перейдем в систему отсчета, которая движется со скоростью v, но тогда изменение энергии равно 3mv^2/2. Что ставит под сомнение закон сохранения импульса.

В выше приведенных рассуждениях допущена одна ошибка, которая типична. В данном случае при переходе из неподвижной системы отсчета в движущуюся мы не учитываем изменение энергии Земли. И действительно если в неподвижной системе отсчета скорость Земли равна: m/M * v. Мы пренебрегаем ей, потому что M >> m. В движущейся системе отсчета скоростью Земли уже нельзя. Таким образом, учитывая энергию Земли получаем, что изменение энергии равно mv^2/2.

№ 4. Сани движутся горизонтально по льду со скоростью v и въезжают на асфальт. Определить расстояние, которое пройдут сани по асфальту, если длина полозьев L, а коэффициент трения об асфальт μ. Трением о лед пренебречь.

Разобьем весь путь, пройденный санями на два участка. На первом участке сила трения изменяется, так как сани постепенно въезжают на асфальт, и соответственно постепенно увеличивается сила реакции опоры. Второй участок – когда сани полностью въехали на асфальт и движутся по нему. Тогда работа на всем пути будет равна:

Aтр = Атр1+ Атр2.

Пусть сани прошли часть первого участка длиной х. Так как сила трения действующая на 1 м двух полозьев равна kmg/(2L), то сила действующая на 2х полозьев равна F = kmgx/l. Тогда работа на первом участке равна:

L

Aтр1 = ∫ F cosα dx

L L

Aтр1 = - ∫ kmgx/L dx = - kmg/L x^2 / 2 │ = - kmgl/2

0 0

А как же быть тем, кто не знаком с интегралами. Наверное, целесообразней нарисовать график зависимости силы трения от пути, пройденного санями по асфальту. Может возникнуть вопрос: “Почему на участке, когда график F(x) возрастает, зависимость представлена прямой?». Сила трения равна μN, где сила реакции опоры зависит от массы, которая находится на асфальте. Разобьем длину полозьев на маленькие участочки длиной х, в данном приближении сила реакции опоры линейно возрастает от пройденного расстояния, а значит и сила трения линейно возрастает от расстояния. После того, как сани полностью въехали на асфальт, сила трения стала постоянной и работа на этом участке равна Aтр2 = -kmg L1

Работа на первом участке равна площади под кривой - kmgl/2.

Aтр2 = -kmg L1

Aтр = - kmg ( L/2 + L1 )

A = - W

L1 = (v^2 – kgL)/ 2kg

S – всё расстояние, пройденное санями по асфальту.

S = L + L1

S = (v^2+kgL)/2kg.

ГОСТЕВАЯ КНИГА